زمانی که منبع ولتاژ به یک مدار  RC اعمال می‌شود، خازن  Cاز طریق مقاومت R شارژ می شود.

مدار RC

تمام مدارها یا سیستمهای الکتریکی یا الکترونیکی از بعضی نوع “تأخیر زمانی” بین ورودی و خروجی  هنگامی که در ابتدا سیگنال یا ولتاژ پیوسته (DC) یا متناوب (AC) روی آن اعمال می شود، رنج می برند.

این تأخیر معمولاً به عنوان تاخیر زمانی یا ثابت زمانی مدار شناخته می شود و هنگامی که در ابتدا ولتاژ یا سیگنال اعمال شد، آن پاسخ زمانی مدار است. ثابت زمانی حاصل از هر مدار یا سیستم الکترونیکی به طور عمده به اجزای واکنشی، خازنی یا القایی متصل به آن بستگی دارد و اندازه گیری پاسخ زمانی با واحدهای تاو  τ  است.

هنگامی که یک ولتاژ فزاینده  DC روی خازن تخلیه شده اعمال می شود، خازن جریان شارژ را می‌کشد و “شارژ می شود” و هنگامی که ولتاژ کاهش می یابد، خازن در جهت مخالف تخلیه می شود. از آنجا که خازن ها قادر به ذخیره انرژی الکتریکی هستند، آنها  مانند باتری های کوچک عمل می کنند و می توانند انرژی مورد نیاز خود را ذخیره یا آزاد کنند.

شارژ روی صفحات خازن به صورت: Q = CV است. این شارژ (ذخیره سازی) و تخلیه (آزاد سازی) انرژی خازن هرگز لحظه ای نیست بلکه زمان مشخصی را می طلبد تا با مدت زمان لازم برای شارژ یا تخلیه خازن در درصد مشخصی از حداکثر مقدار تغذیه آن که بصورت ثابت زمانی (τ) شناخته می‌شود، اتفاق بیفتد.

اگر یک مقاومت به صورت سری با خازن وصل شود یک مدار RC را تشکیل می دهد، خازن به تدریج از طریق مقاومت تا اینکه ولتاژ در خازن به ولتاژ تغذیه برسد، شارژ خواهد شد. زماني كه پاسخ گذرا نيز ناميده شده است، که براي اينكه خازن به طور كامل شارژ شود ، معادل نزديك 5 ثابت زمانی يا 5 τ است.

این پاسخ زمانی گذرا τ،  بصورت  τ = R × C  در چند ثانیه اندازه گیری می‌شود، که R مقدار مقاومت در اهم و C مقدار خازن در فاراد است. سپس این پایه و اساس مدار شارژ RC را تشکیل می دهد که τ 5 نیز می تواند به عنوان ” 5× RC” در نظر گرفته شود.

مدار شارژی RC

شکل زیر یک خازن (C) را به صورت سری با یک مقاومت  (R) نشان می دهد یک مدار شارژ RC را تشکیل می‌دهند که از طریق یک سوئیچ مکانیکی به دو سر  یک تغذیه باتری DC ) Vs) وصل شده است. با بسته شدن سوئیچ، خازن به تدریج از طریق مقاومت شارژ می شود تا ولتاژ موجود در آن به ولتاژ منبع تغذیه باتری برسد. نحوه شارژ شدن خازن نیز در زیر نشان داده شده است.

بیایید فرض کنیم که خازن  C کاملاً “تخلیه” شده و سوئیچ (S) کاملاً باز است. این شرایط اولیه مدار است، سپس t = 0 ، i = 0 و q = 0 است. هنگامی که سوئیچ بسته می شود، زمان از t = 0 شروع می شود و جریان از طریق مقاومت شروع به جاری شدن در خازن می‌کند.

از آنجا که ولتاژ اولیه در دو سر خازن صفر است  (Vc = 0)، خازن به نظر می رسد یک اتصال کوتاه به مدار خارجی است و حداکثر جریان عبوری از مدار تنها توسط مقاومت R محدود شده است. سپس با استفاده از قانون ولتاژ کریشهف KVL)1 ) افت ولتاژ در مدار به شرح زیر است:

[latex] V_{s}-Rtimes i(t)-V_{c}(t)=0[/latex]

جریانی که اکنون در حال گردش در مدار است، جریان شارژ نامیده می شود و با استفاده از قانون اهم  به صورت[latex] i=V_{s}/R [/latex] است.

منحنی مدار شارژ RC

خازن همانطور که نشان داده شده است شروع به شارژ شدن می‌کند با صعود سریع در منحنی شارژ RC مواجه هستیم زیرا در ابتدا سرعت شارژ سریعتر است و بعد از ان خاموش می‌شود زیرا خازن شارژ اضافی را با سرعت کمتری انجام می دهد

وقتی که خازن شارژ شد،  اختلاف پتانسیل دو سر  صفحه های آن به آرامی با مدت زمان واقعی که برای شارژ روی خازن نیاز است تا به  63٪ از حداکثر ولتاژ ممکن خود برسد، افزایش می‌یابد، در منحنی [latex] 0.63 [/latex] ولت به عنوان یک ثابت زمانی  (τ) شناخته می‌شود.

این نقطه ولتاژ 0.63Vs اختصار τ 1 ، (یک ثابت زمانی) را می‌گیرد.

خازن شارژ را ادامه می دهد و اختلاف ولتاژ بین Vs و Vc کاهش می یابد، به همین ترتیب جریان مدار  i است. سپس در شرایط نهایی آن؛  بزرگتر از پنج ثابت زمانی ([latex] 5tau [/latex] ) وقتی که گفته می شود خازن به طور کامل شارژ شده است، شرایط نهایی بصورت   t =∞ ، i = 0 ، q = Q = CV است. سپس در بی نهایت جریان به صفر می رسد، خازن مانند شرایط مدار باز عمل می کند، ولتاژ کاملا در دوسر خازن افت می‌کند.

بنابراین از نظر ریاضی می توانیم بگوییم که زمان مورد نیاز برای شارژ خازن تا یک ثابت زمانی  ([latex] 1tau [/latex] ) به شرح زیر است:

ثابت زمانی (تاو) RC

[latex] tau =Rtimes C [/latex]

این ثابت زمانی RC فقط میزان شارژ را مشخص می کند بطوریکه  که R در Ω و C در فاراد بیان می‌شود.

از آنجا که ولتاژ V مربوط به شارژ  روی یک خازن است که توسط معادله  Vc = Q / C بیان می‌شود، ولتاژ در برابر  ولتاژ دو سر خازن (Vc) در هر لحظه در هر زمان در طول دوره شارژ به شرح زیر است:

[latex] V_{c}=V_{s}(1-e^{(-t /RC)}) [/latex]

بطوریکه:

Vc ولتاژ دو سر خازن است

Vs ولتاژ منبع تغذیه است

t زمان سپری شده از زمان استفاده ولتاژ تغذیه است

RC ثابت زمانی مدار شارژ RC است

پس از مدت معادل با 4 ثابت زمانی  ([latex] 4tau [/latex]) خازن موجود در این مدار شارژ RC به طور کامل شارژ می شود و ولتاژ دو سر خازن اکنون تقریبا 98٪ از حداکثر مقدار آن، [latex] 0.98 [/latex] ولت است. مدت زمانی که خازن برای رسیدن به این نقطه [latex] 4T [/latex]  گرفته شده به نام دوره گذرا شناخته می شود.

پس از مدت زمان 5 τ، خازن به طور کامل شارژ شده است و ولتاژ دو سر خازن (Vc) برابر با ولتاژ منبع تغذیه  (Vs) است. از آنجا که خازن کاملاً شارژ می شود، جریان بیشتر دیگری در مدار جریان نمی ‌یابد. طول زمانی پس از این نقطه 5T به عنوان دوره حالت پایدار شناخته می شود.

سپس می توانیم در جدول زیر درصد ولتاژ و مقادیر جریان را برای خازن  در یک مدار شارژ RC برای ثابت زمانی مشخص نشان دهیم.

جدول شارژ RC

توجه داشته باشید که از آنجا که منحنی شارژ برای یک مدار شارژ RC نمایی است، در حقیقت خازن به دلیل انرژی ذخیره شده در آن هرگز 100٪ کاملاً شارژ نمی شود. بنابراین برای تمام اهداف عملی، پس از پنج  ثابت  زمانی یک خازن کاملاً شارژ  شده در نظر گرفته می شود.

از آنجا که ولتاژ در خازن Vc با گذشت زمان تغییر می کند و در هر ثابت  زمانی تا 5 τ متفاوت است، برای مثال می توانیم این مقدار ولتاژ خازن  Vc را در هر نقطه معین محاسبه کنیم.

مثال شماره 1مدار شارژ RC

ثابت زمانی مدار RC  ، τ از مدار زیر را محاسبه کنید.

ثابت زمانی   با استفاده از فرمول τ = R × C در ثانیه محاسبه می‌شود.

بنابراین ثابت زمانی τ به صورت زیر است:

R × C = 47k x 1000uF = 47 s     = τ

الف) ولتاژ دو سر خازن در ثابت زمانی 7/0 چه خواهد بود؟

در  ثابت زمانی 7/0 ،   Vc = 0.5Vs  [latex] (0.7tau )[/latex] است. بنابراین ، Vc = 0.5 × 5V = 2.5V

ب)  ولتاژ دو سر خازن در ثابت زمانی 1 چقدر خواهد بود؟

در  ثابت زمانی 1 ،     Vc = 0.5Vs  [latex] (1tau )[/latex]است. بنابراین ، Vc = 0.63 × 5V = 3.15V

ج) چه مدت طول می کشد تا خازن “به طور کامل” شارژ شود؟

خازن در  ثابت زمانی 5 به طور کامل شارژ می شود.

1 ثابت زمانی (1T) = 47 ثانیه، (از بالا)  است. بنابراین،  5 τ = 5×47 = 235 ثانیه

د) ولتاژ  دو سرخازن بعد از 100 ثانیه؟

فرمول ولتاژ به صورت Vc = V (1 – e(-t/RC)) بدست می آید در نتیجه داریم: Vc = 5 (1 – e(-100/47))

بطوریکه: V = 5 ولت، t = 100 ثانیه و RC = 47 ثانیه از بالا بدست می‌آید.

بنابراین، ولت   Vc = 5 (1 – e(-100/47)) = 5 (1 – e-2.1277) = 5 (1 – 0.1191) = 4.4

دیدیم که شارژ در یک خازن با این عبارت بیان شده است Q = CV و هنگامی که یک ولتاژ برای اولین بار به صفحات خازن اعمال می شود آن  با سرعت تعیین شده توسط ثابت زمانی τ شارژ می شود.

در آموزش بعدی، رابطه ولتاژ- جریان یک خازن تخلیه را بررسی خواهیم کرد و بر منحنی های آن هنگامیکه صفحات خازن با یکدیگر اتصال کوتاه شده اند، خواهیم پرداخت.

  1. Kirchhoff’s voltage law