ریاضیات استفاده شده در مهندسی الکترونیک برای جمع با هم مقاومت‌ها، جریان ها یا ولتاژ های DC از آن چه “اعداد حقیقی” نامیده می‌شود استفاده می‌کند که هم به عنوان اعداد صحیح و هم کسری بکار می‌رود.

اما اعداد حقیقی تنها نوع اعدادی نیستند که ما باید مخصوصا هنگام کار با منابع سینوسی وابسته به فرکانس و بردارها استفاده کنیم. علاوه بر استفاده از اعداد نرمال یا حقیقی، اعداد مختلط برای حل معادلات مختلط با اعدادی که ریشه مربع اعداد منفی هستند ۱√ معرفی شدند.

در مهندسی برق این نوع عدد را “عدد موهومی” می نامند و برای تشخیص یک عدد موهومی از یک عدد حقیقی از حرف “j” که معمولاً در مهندسی برق به عنوان عملگر j معروف است استفاده می‌شود. بنابراین حرف “j” در مقابل یک عدد  حقیقی قرار می‌گیرد تا نشانگر عملکرد عدد موهومی آن باشد.

مثال‌هایی از اعداد موهومی عبارتند از: j3 ، j12 ، j100 و غیره. سپس یک عدد مختلط از دو قسمت متمایز اما کاملاً مرتبط با هم تشکیل شده است، یک “عدد حقیقی” به همراه یک “عدد موهومی”.

اعداد مختلط نشان دهنده نقاطی در یک مجموعه دو بعدی یا صفحه s هستند که به دو محور مجزا مربوط می شوند. محور افقی را “محور حقیقی” می نامند در حالی که محور عمودی را “محور موهومی” می نامند. قسمت‌های حقیقی و موهومی یک عدد مختلط به ترتیب با اختصار Re(z)و Im(z) خلاصه می‌شوند.

اعداد مختلطی که از اعداد حقیقی (مولفه فعال) و موهومی (مولفه واکنشی) تشکیل شده اند را می توان دقیقاً به همان روشی که از جبر ابتدایی برای تجزیه و تحلیل مدارهای DC استفاده می شود، جمع، تفریق و استفاده کرد.

قوانینی که در ریاضیات برای جمع یا تفریق اعداد موهومی استفاده می‌شود همانند اعداد حقیقی است، j2 + j4 = j6 و غیره. تنها تفاوت در ضرب است زیرا دو عدد موهومی که با هم ضرب می‌شوند به یک عدد حقیقی منفی تبدیل می شود. اعداد واقعی را می توان به عنوان یک عدد مختلط در نظر گرفت اما دارای یک قسمت موهومی صفر با برچسب j0 است.

مقدار عملگر j دقیقاً برابر با ۱-√ است، بنابراین ضرب پی در پی  j , ( j x j ) منجر به داشتن j با مقادیر، ۱- ، j- و ۱+ می شود. همانطور که از عملگر j معمولاً برای نشان دادن چرخش بر خلاف جهت عقربه‌های ساعت استفاده می‌شود، هر ضرب یا توان پی در پی j ، j۲ ، j۳ و غیره ، بردار را وادار می‌کند تا با زاویه ثابت ۹۰ درجه در جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، که در زیر نشان داده شده است به همین ترتیب، اگر ضرب بردار به یک عملگر j منجر شود، تغییر فاز ۹۰- درجه ، یعنی یک چرخش جهت عقربه ساعت خواهد بود.

چرخش برداری عملگر j

چرخش برداری عملگر j

بنابراین با ضرب یک عدد موهومی در j۲ ، بردار بر خلاف جهت عقربه های ساعت با ۱۸۰ درجه می چرخد، ضرب در j۳ آن را ۲۷۰ درجه می چرخاند و با j۴ آن را ۳۶۰ درجه می چرخاند یا به موقعیت اصلی خود بازمی‌گرداند. ضرب در j۱۰ یا j۳۰ باعث چرخش بردار بر خلاف جهت عقربه‌های ساعت به میزان مناسب می‌شود. در هر چرخش متوالی، اندازه بردار همیشه ثابت است.

در مهندسی برق روش‌های مختلفی وجود دارد که می‌تواند یک عدد مختلط را به صورت گرافیکی یا ریاضی نشان دهد. یکی از این روشها که از قانون کسینوسی و سینوسی استفاده می کند، فرم دکارتی یا مستطیلی نامیده می‌شود.

اعداد مختلط با استفاده از فرم مستطیل شکل

در آخرین آموزش در مورد فازورها، دیدیم که یک عدد مختلط توسط یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی نشان داده می شود که شکل کلی بصورت زیر است:

                                                                             Z=X+jy

بطوریکه:

  • Z – عدد مختلط که نشان دهنده بردار است.
  • x – قسمت حقیقی یا مولفه فعال است.
  • y – قسمت موهومی یا مولفه غیر فعال است
  • j – توسط ۱√ تعریف می شود.

در شکل مستطیلی، یک عدد مختلط را می توان به عنوان یک نقطه در یک صفحه دو بعدی به نام صفحه مختلط یا s نشان داد. بنابراین به عنوان مثال ، Z = 6 + j4 یک نقطه منفرد را نشان می‌دهد که مختصات آن ۶ را در محور حقیقی افقی و ۴ را در محور موهومی عمودی نشان می دهد که در زیر نشان داده شده است.

اعداد مختلط با استفاده از صفحه مختلط یا s

اعداد مختلط با استفاده از صفحه مختلط یا s

اما از آنجا که هر دو قسمت حقیقی و موهومی یک عدد مختلط به شکل مستطیل می تواند یک عدد مثبت یا یک عدد منفی باشد، بنابراین هر دو محور حقیقی و موهومی نیز باید در دو جهت مثبت و منفی گسترش یابند. سپس این یک صفحه مختلط با چهار ربع به نام نمودار Argand (آرگان) ایجاد می‌کند که در زیر نشان داده شده است.

نمودار چهار ربع Argand

نمودار چهار ربع Argand

در نمودار ارگان، محور افقی نشان دهنده تمام اعداد حقیقی مثبت در سمت راست محور موهومی عمودی و همه اعداد حقیقی منفی در سمت چپ محور موهومی عمودی است. تمام اعداد موهومی مثبت در بالای محور افقی نشان داده می‌شوند در حالی که تمام اعداد موهومی منفی زیر محور حقیقی افقی قرار دارند. سپس یک صفحه مختلط دو بعدی با چهار ربع مجزا با برچسب QI ، QII ، QIII و QIV تولید می‌شود.

از نمودار Argand در بالا می توان برای نشان دادن یک فازور چرخان به عنوان یک نقطه در صفحه مختلط استفاده کرد که شعاع آن با اندازه فازور داده می شود و برای هر ∏۲ بر روی ω ثانیه یک دایره کامل به دور خود می‌کشد.

سپس می‌توانیم این ایده را بیشتر گسترش دهیم تا تعریف عدد مختلط را به دو صورت قطبی و مستطیلی برای چرخش های ۹۰ درجه نشان دهیم.

اعداد مختلط همچنین می توانند دارای بخش‌های حقیقی یا موهومی “صفر” مانند: Z = 6 + j0 یا Z = 0 + j4 باشند. در این حالت نقاط مستقیماً روی محور حقیقی یا موهومی رسم می‌شوند. همچنین، می توان زاویه عدد مختلط را با استفاده از مثلثات ساده برای محاسبه زاویه‌های مثلث‌های قائم الزاویه محاسبه کرد، یا آن را در جهت عقربه‌های ساعت در اطراف نمودار Argand از محور حقیقی مثبت اندازه گرفت.

سپس زاویه‌های بین ۰ و ۹۰ درجه در ربع اول (I) ، زاویه‌های (θ) بین ۹۰ تا ۱۸۰ درجه در ربع دوم (II) قرار می‌گیرند. ربع سوم (III) شامل زاویه‌هایی بین ۱۸۰ تا ۲۷۰ درجه است در حالی که ربع چهارم و نهایی (IV) که دایره کامل را کامل می‌کند، شامل زاویه های بین ۲۷۰ تا ۳۶۰ درجه و غیره است. در هر چهار ربع زوایای مربوطه را می توان از موارد زیر یافت:

(tan مولفه موهومی)÷( مولفه حقیقی)

جمع و تفریق اعداد مختلط

جمع یا تفریق اعداد مختلط را می‌توان به صورت ریاضی یا گرافیکی به صورت مستطیلی انجام داد. علاوه بر این، ابتدا بخشهای حقیقی با هم جمع می‌شوند تا قسمت حقیقی حاصل از جمع را تشکیل دهند و سپس قسمت‌های موهومی تا قسمت موهومی حاصل از جمع را تشکیل دهند و این فرایند با استفاده از دو عدد مختلط A و B به شرح زیر است به عنوان مثال:

جمع و تفریق مختلط

                                                                         A=x+jy       B=w+jz

                                                                       A+B=(x+w)+j(y+z)

                                                                          A-B=(x-w)+j(y-z)

مثال شماره ۱ اعداد مختلط

دو بردار به ترتیب A = 4 + j1 و B = 2 + j3 تعریف می شوند. جمع و اختلاف دو بردار را به دو صورت مستطیلd (a + jb) و به صورت گرافیکی به عنوان نمودار Argand تعیین کنید.

جمع:

                                                                    A+B=(4+j1)+(2+j3)

                                                                 A+B=(4+2)+j(1+3)=6+j4

تفریق:

                                                                      A-B=(4+j1)-(2+j3)

                                                                  A-B=(4-2)+(j1-j3)=2-2j

جمع و تفریق گرافیکی

جمع و تفریق گرافیکی

ضرب و تقسیم اعداد مختلط

ضرب اعداد مختلط در فرم مستطیلی، کم و بیش همان قوانین جبر عادی را همراه با چند قانون اضافی برای ضرب متوالی عملگر j دنبال می کند بطوریکه: j۲ = -۱. بنابراین به عنوان مثال، ضرب کردن دو بردار ما از بالا A = 4 + j1 و B = 2 + j3 نتیجه زیر را به ما می‌دهد.

                                                                              A×B=(4+j1)(2+j3)

                                                                               =۸+j12+j2+j۲۳

                                                                                     J۲=-۱ اما

                                                                                     =۸+j14-3

                                                                                  A× B=5+j14

از نظر ریاضی، انجام تقسیم اعداد مختلط به شکل مستطیل کمی دشوارتر است زیرا برای تبدیل مخرج معادله به عدد حقیقی نیاز به استفاده از تابع مزدوج مخرج است. این “منطقی سازی” نامیده می‌شود. سپس تقسیم اعداد مختلط بهتر است با استفاده از “فرم قطبی” انجام شود، که بعداً به آن خواهیم پرداخت. با این حال، به عنوان مثال در فرم مستطیلی بیایید تا مقدار بردار A تقسیم بر بردار B را پیدا کنیم.

    \[ \frac{A}{B}=\frac{4+j1}{2+j3} \]

ضرب صورت و مخرج با مزدوج ۲+j3

    \[ \frac{4+j1}{2+j3}\times\frac{2-j3}{2-j3}=\frac{8-j12+j2-j^23}{4-j6+j6-j^29} \]

    \[ =\frac{8-j10+3}{4+9}=\frac{11-j10}{13} \]

    \[ =\frac{11}{13}+\frac{-j10}{13}=0.85-j0.77 \]

مزدوج مختلط

مزدوج مختلط، یا صرفاً مزدوج یک عدد مختلط تنها با معکوس کردن علامت جبری عدد موهومی عدد مختلط تنها در حالی که علامت جبری عدد حقیقی همان است بدست می آید و برای تشخیص مزدوج مختلط z از نماد z¯ استفاده می شود. به عنوان مثال، مزدوج ۶ + j4¯z z = 6 – j4 است ، به همین ترتیب مزدوج ۶ – j4 z = 6 + j4 است.

نقاط موجود در نمودار ارگاند برای یک مزدوج مختلط دارای همان موقعیت افقی در محور حقیقی مانند عدد مختلط اصلی اما با. موقعیت های عمودی مخالف است. بنابراین، ترکیبات مزدوج مختلط را می توان بازتابی از یک عدد مختلط دانست. مثال زیر یک عدد مختلط ، ۶ + j4 و مزدوج آن را در صفحه پیچیده نشان می‌دهد.

اعداد مختلط مزدوج

اعداد مختلط مزدوج

مجموع یک عدد مختلط و مزدوج آن همیشه همانطور که در بالا دیدیم یک عدد حقیقی خواهد بود. سپس جمع یک عدد مختلط و مزدوج آن نتیجه را فقط به عنوان یک عدد واقعی یا مولفه  فعال می دهد، در حالی که تفریق آنها فقط یک عدد موهومی یا مولفه واکنشی می دهد. مزدوج یک عدد مختلط عنصر مهمی است که در مهندسی برق برای تعیین توان ظاهری مدار AC با استفاده از فرم مستطیلی استفاده می‌شود.

اعداد مختلط با استفاده از فرم قطبی

برخلاف فرم مستطیلی که نقاطی را در صفحه مختلط ترسیم می‌کند، فرم قطبی عدد مختلط از نظر اندازه و زاویه آن نوشته می‌شود. بنابراین، یک بردار شکل قطبی به صورت زیر ارائه می‌شود:

Z = A ∠ ± θ ، بطوریکه: Z عدد مختلط به شکل قطبی است، A اندازه یا مدول برداری است و θ زاویه یا استدلال آن از A است که می تواند هر دو باشد مثبت یا منفی باشد. اندازه و زاویه نقطه همچنان به همان شکل مستطیل شکل بالا باقی مانده است، این بار در صورت قطبی محل نقطه به شکل “مثلثی” در زیر نشان داده شده است.

نمایش شکل قطبی یک عدد مختلط

نمایش شکل قطبی یک عدد مختلط

از آنجا که نمایش قطبی یک نقطه بر اساس شکل مثلث بنا شده است، می توانیم از هندسه ساده مثلث و به ویژه مثلثات و قضیه فیثاغورس در مثلث‌ها استفاده کنیم تا هم اندازه و هم زاویه عدد مختلط را پیدا کنیم. همانطور که از مدرسه به یاد می آوریم، مثلثات با رابطه بین اضلاع و زاویه های مثلث سروکار دارند بنابراین می توانیم روابط بین اضلاع را به صورت زیر توصیف کنیم:

    \[ A^2=x^2+y^2 \]

    \[ A=\sqrt{x^2+y^2} \]

    \[ x=A.cos\theta\ ,\ \ \ y=A.sin\theta \]

سپس با استفاده دوباره از  مثلثات، زاویه θ از A بصورت زیر است:

    \[ \theta={tan}^{-1}\frac{y}{x} \]

سپس در شکل قطبی، طول A و زاویه آن به جای یک نقطه، عدد مختلط را نشان می دهد. همچنین به صورت قطبی، مزدوج عدد مختلط دارای اندازه یا مدول یکسانی است و علامت زاویه ای است که تغییر می کند، بنابراین به عنوان مثال مزدوج ۶ ∠۳۰    بصورت ۶ ∠– ۳۰  درجه خواهد بود.

تبدیل بین فرم مستطیل و فرم قطبی

در شکل مستطیلی می توانیم یک بردار را از نظر مختصات مستطیل شکل بیان کنیم، در حالی که محور افقی محور حقیقی آن است و محور عمودی محور موهومی یا جز j – آن است. در شکل قطبی این محورهای حقیقی و موهومی به سادگی توسط “A ∠θ” نشان داده می شوند. سپس با استفاده از مثال ما در بالا، رابطه بین فرم مستطیل و فرم قطبی را می توان به این صورت تعریف کرد:

تبدیل شکل قطبی به شکل مستطیلی( P → R)

    \[ 6<{30}^0=x+jy \]

    \[ 6<{30}^0=\left(6cos\theta\right)+j(6sin\theta) \]

    \[ =\left(6cos{30}^0\right)+j(6sin{30}^0) \]

    \[ =\left(6\times0.866\right)+j\left(6\times0.5\right) \]

    \[ =5.2+j3 \]

همچنین می توان از شکل مستطیلی به شکل قطبی بصورت زیر برگشت.

تبدیل شکل مستطیلی به شکل قطبی (R → P)

    \[ (5.2+j3)=A<\theta \]

    \[ A=\sqrt{{5.2}^2+3^2}=6 \]

    \[ \theta={tan}^{-1}\frac{3}{5.2}={30}^0 \]

    \[ \left(5.2+j3\right)=6<{30}^0 \]

ضرب و تقسیم فرم قطبی

فرم مستطیلd برای جمع و کم کردن اعداد مختلط همانطور که در بالا دیدیم بهترین است، اما فرم قطبی غالباً برای ضرب و تقسیم بهتر است. برای ضرب دو بردار به شکل قطبی، ابتدا باید دو مدول یا اندازه را با هم ضرب کنیم و سپس زاویه‌های آنها را با هم جمع کنیم.

ضرب به شکل قطبی

    \[ Z_1\times\ Z_2=A_1\times\ A_2<\theta_1+\theta_2 \]

ضرب با هم ۶ ∠۳۰ درجه و ۸ ∠– ۴۵ درجه در شکل قطبی به ما:

    \[ Z_1\times Z_2=6\times8<{30}^0+\left(-{45}^0\right)=48<-{15}^0 \]

تقسیم به شکل قطبی

به همین ترتیب، برای تقسیم دو بردار به شکل قطبی، باید دو مدول را تقسیم کنیم و سپس زاویه های آنها را مانند زیر کم کنیم.

    \[ \frac{Z_1}{Z_2}=\left(\frac{A1}{A2}\right)<\theta1-\theta2 \]

    \[ \frac{Z_1}{Z_2}=\left(\frac{6}{8}\right)<{30}^0-{(-45}^0)=0.75<{75}^0 \]

خوشبختانه ماشین حسابهای مدرن امروزی برای محاسبه توابع ریاضی ساخته شده اند (کتاب خود را بررسی کنید) که امکان تبدیل آسان مستطیلی به قطبی (R→P) و بازگشت از حالت قطبی به مستطیلی (R →P) را فراهم می‌کند.

اعداد مختلط با استفاده از شکل نمایی

تاکنون اعداد مختلط را در فرم مستطیلی، (a + jb) و فرم قطبی (A ∠ ± θ) در نظر گرفته ایم. اما یک روش سوم نیز برای نمایش یک عدد مختلط وجود دارد که شبیه فرم قطبی است که با طول (بزرگی) و زاویه فاز سینوسی مطابقت دارد اما از پایه لگاریتم طبیعی برای یافتن مقدار عدد مختلط استفاده می کند، e = 2.718 281 این روش سوم فرم نمایی نامیده می‌شود.

فرم نمایی از توابع مثلثاتی مقادیر سینوسی (سینوسsin و کسینوس (cos) مثلث زاویه دار راست برای تعریف نمایی مختلط به عنوان یک نقطه چرخشی در صفحه مختلط استفاده می کند. فرم نمایی برای یافتن موقعیت نقطه بر اساس اتحاد اویلر است که به نام ریاضیدان سوئیسی، لئونارد اویلر نامگذاری شده است و به صورت زیر ارائه می شود:

    \[ Z=Ae^{j\varphi} \]

    \[ Z=A(cos\varphi+jsin\ \varphi) \]

سپس اتحاد اویلر را می‌توان با نمودار فازور چرخشی زیر در صفحه مختلط نشان داد.

می توانیم ببینیم که اتحاد اویلر بسیار شبیه شکل قطبی فوق است و به ما نشان می‌دهد که یک عدد مانند Ae که دارای بزرگی ۱ است نیز یک عدد مختلط است. نه تنها می توان اعداد مختلط را که به صورت نمایی هستند به راحتی به فرم قطبی تبدیل کرد مانند: e j30 = ۲∠۳۰ ۲، ۱۰e j120 = ۱۰∠۱۲۰ یا e j90 = -۶∠۹۰ ۶-، اما اتحاد اویلر نیز روشی را برای تبدیل یک عدد مختلط از شکل نمایی آن به شکل مستطیل آن به ما رائه می‌دهد. سپس رابطه بین، نمایی، قطبی و مستطیل شکل در تشخیص یک عدد مختلط به صورت زیر است:

اشکال عدد مختلط

    \[ Z=x+jy=A<\theta=\ A(cos\varphi+jsin\ \varphi) \]

نماد فازور

تاکنون ما به روشهای مختلفی برای نشان دادن یک بردار چرخان یا یک بردار ثابت با استفاده از اعداد مختلط برای تعریف یک نقطه در صفحه مختلط پرداخته ایم. نماد فازوری فرآیند ساخت یک عدد مختلط منفرد است که دامنه و زاویه فاز شکل موج سینوسی داده شده را دارد.

سپس نماد فازور یا تبدیل فازور که گاهی اوقات نامیده می شود، قسمت حقیقی تابع سینوسی را منتقل می کند: A  = A  cos(ωt ± ) از حوزه زمان به حوزه عدد مختلط که دامنه فرکانس نیز گفته میشود.

مثلا:

    \[ V_t=Vm\cos{\left(\omega t+\theta\right)}\ \ \ \ \ \ \ \leftrightarrow\ \ \ اویلر ∶ e±jθ=cosθ∓jsinθ \]

لطفا توجه داشته باشید که۲√ با زاویه فاز داده شده در رادیان ، (ω) حداکثر دامنه را به مقدار موثر یا RMS تبدیل می‌کند.

خلاصه اعداد مختلط

برای خلاصه این آموزش درباره اعداد مختلط و کاربرد اعداد مختلط در مهندسی برق.

  • اعداد مختلط از دو عدد مجزا تشکیل شده اند، یک عدد حقیقی به همراه یک عدد موهومی.
  • اعداد موهومی با استفاده از عملگر j از یک عدد حقیقی متمایز می شوند.
  • عددی با حرف “j” در مقابل آن را به عنوان یک عدد موهومی در صفحه مختلط مشخص می کند.
  • طبق تعریف، عملگر j j ≡ √-۱
  • اعداد موهومی را می توان همانند اعداد حقیقی جمع، تفریق ضرب کرد
  • ضرب “j” در “j : ” j۲ = -۱ می‌دهد.
  • در شکل مستطیل یک عدد مختلط با یک نقطه در فضای صفحه مختلط نشان داده می شود.
  • در فرم قطبی یک عدد مختلط با یک خط که طول آن دامنه آن و با زاویه فاز نشان داده می‌شود.
  • در فرم نمایی یک عدد مختلط با یک خط و زاویه مربوطه نشان داده می شود که از پایه لگاریتم طبیعی استفاده می‌کند.
  • یک عدد مختلط را می توان به یکی از سه روش نشان داد.
  1. Z = x + jy   فرم مستطیل
  2. Z = A ∠Φ  فرم قطبی
  3. Z = A e   فرم نمایی
  • از اتحاد اویلر می توان برای تبدیل اعداد مختلط از شکل نمایی به شکل مستطیل استفاده کرد.

در آموزش‌های قبلی از جمله این مقاله مشاهده کردیم که می‌توانیم از فاکتورها برای نمایش شکل موج های سینوسی استفاده کنیم و دامنه و زاویه فاز آنها را می‌توان به صورت یک عدد مختلط نوشت. ما همچنین دیده ایم که اعداد مختلط را می توان به صورت مستطیلی، قطبی یا نمایی با تبدیل بین هر فرم جبری عدد مختلط شامل جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم ارائه داد.

در چند آموزش بعدی در رابطه با رابطه فازور در مدارهای سری AC، ما به امپدانس برخی از اجزای مدار غیرفعال مشترک خواهیم پرداخت و نمودارهای فازور را برای هر دو جریان شارش یافته در مولفه و ولتاژ اعمال شده روی آن با شروع از مقاومت AC ترسیم می‌کنیم.