نمودارهای فازوری و جبر فازوری 

نمودارهای فازوری یک روش گرافیکی برای نشان دادن میزان و رابطه جهت بین دو یا چند مقدار متناوب است.

نمودار سینوسی

شکل موج‌های سینوسی با فرکانس یکسان می‌توانند اختلاف فاز بین خودشان داشته باشند که نشان‌دهنده تفاوت زاویه‌ای دو شکل موج سینوسی است. همچنین اصطلاحات “پیش” و “تاخیر” و همچنین “هم فاز” و “خارج از فاز” برای نشان دادن ارتباط یک شکل موج با دیگری با بیان سینوسی تعمیم یافته استفاده می‌شود که عبارتند از: (A_(t) = A_m sin ( ωt ± Φ که نشان‌دهنده  سینوسی در شکل حوزه زمانی است.

اما وقتی به صورت ریاضی از این طریق ارائه می‌شود، گاها مشاهده این تفاوت زاویه‌ای یا فازور بین دو یا چند شکل موج سینوسی دشوار است. یکی از راه‌های رفع این مشکل، نشان دادن سینوسی‌ها به صورت گرافیکی در فرم فضایی یا حوزه فازوری با استفاده از نمودارهای فازوری است، و این با استفاده از روش بردار چرخان حاصل می‌شود.

فازور چیست

در واقع یک بردار چرخان، که به سادگی “فازور” خوانده می‌شود، یک خط مقیاس است که طول آن مقدار AC را نشان می‌دهد که هم اندازه (“دامنه اوج”) و هم جهت (“فاز”) دارد که در بعضی از نقاط در زمان “یخ زده” است.

فازور یک بردار است که دارای یک سر فلش در یک انتها است که بخشی از آن مقدار حداکثر مقدار بردار (V یا I) را نشان می‌دهد و بخشی انتهای بردار چرخان را نشان می‌دهد.

به طور کلی، بردارها در یک نقطه در اطراف یک نقطه صفر ثابت که به عنوان “نقطه مبدأ” شناخته شده است آغاز می‌شوند در حالی که انتهای پیکان که نشان دهنده کمیت است، آزادانه در یک جهت ضد ساعت در یک سرعت زاویه‌ای (ω) از یک چرخه کامل برای هر سیکل می‌چرخد. این چرخش خلاف عقربه ساعت بردار، یک چرخش مثبت در نظر گرفته می‌شود. به همین ترتیب، چرخش در جهت عقربه‌های ساعت یک چرخش منفی محسوب می‌شود.

اگرچه هر دو اصطلاح بردار و فازور برای توصیف یک خط دوار استفاده می‌شوند که خود دارای بزرگی و جهت است، اما تفاوت اصلی بین این دو در این است که یک مقدار بردار “مقدار اوج” سینوسی است در حالی که اندازه فازور “مقدار RMS ”سینوسی است. در هر دو حالت زاویه فاز و جهت یکسان است.

مرحله مقدار متناوب در هر لحظه از زمان می‌تواند توسط نمودار فازور نمایش داده شود، بنابراین نمودارهای فازور می‌توانند به عنوان “توابع زمان” تصور شوند. موج سینوسی کامل را می‌توان با یک بردار تک چرخان با سرعت زاویه‌ای ω = 2πƒ، که در آن f فرکانس شکل موج است، ساخت. سپس یک فازورکمیتی است که هم “اندازه” و هم “جهت” دارد.

به طور کلی، هنگام ساخت نمودار فازوری، سرعت زاویه‌ای یک موج سینوسی همیشه بصورت: ω در  rad / sec فرض می‌شود. نمودار فازور زیررا در نظر بگیرید.

نمودارهای فازوری یک موج سینوسی

هرچه بردار منفرد در جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، نوک آن در نقطه A یک چرخش کامل 360 یا 2π را می‌چرخد و یک چرخه کامل را نشان می دهد. اگر طول نوک متحرک آن در فواصل زاویه‌ای مختلف در زمان به یک نمودار همانطور که در بالا نشان داده شده است منتقل شود، یک شکل موج سینوسی با شروع از چپ از صفر کشیده می‌شود. هر موقعیت در امتداد محور افقی، زمان گذشته از زمان صفر را نشان می‌دهد، t = 0. وقتی بردار افقی است نوک بردار زاویه‌های 0، 180 و 360 را نشان می‌دهد.

به همین ترتیب، هنگامی که نوک بردار عمودی است، مقدار اوج مثبت (+Am) را در 90 یا π / 2 و مقدار اوج منفی، (Am-) در 270 یا π2 / 3 را نشان می‌دهد. سپس محور زمان شکل موج، زاویه را به صورت درجه یا شعاعی نشان می‌دهد که از طریق آن فازور حرکت کرده است. بنابراین می‌توان گفت که یک فازور یک ولتاژ مقیاس پذیر یا مقدار جریان یک بردار چرخان را نشان می‌دهد که در بعضی از زمان “منجمد” می‌شود، و در مثال بالا، این در زاویه 30 است.

گاهی اوقات وقتی ما در حال تجزیه و تحلیل شکل موج‌های متناوب هستیم، ممکن است لازم باشد تا موقعیت فازور را بدانیم، مثلا در نمایش مقادیر متناوب در لحظه خاص در زمان  به خصوص وقتی که می‌خواهیم دو شکل موج مختلف را در همان محور مقایسه کنیم. مثلاً ولتاژ و جریان. ما در شکل موج بالا فرض کرده‌ایم که شکل شکل موج در زمان t = 0 با زاویه فاز مربوطه در درجه یا رادیان شروع می‌شود.

اما اگر شکل موج دوم به سمت چپ یا راست این نقطه صفر شروع شود یا بخواهیم در نشانه فازور رابطه بین دو شکل موج را نشان دهیم، نیاز خواهد بود تا به  این تفاوت فاز Φ شکل موج توجه کنیم. نمودار زیر را از آموزش اختلاف فاز قبلی در نظر بگیرید.

اختلاف فاز یک شکل موج سینوسی

عبارت ریاضی تعمیم یافته برای تعریف این دو کمیت سینوسی بصورت زیر نوشته خواهد شد:

جریان i، متاخر از ولتاژ v با زاویه Φ است و در مثال ما در بالا این 30 درجه است بنابراین تفاوت بین دو فازور نمایانگر دو مقدار سینوسی در زاویه Φ و نمودار فازور حاصل بصورت زیر خواهد بود.

نمودارهای فازوری یک شکل موج سینوسی

نمودار فازور متناظر با زمان صفر (t = 0) در محور افقی ترسیم شده است. طول فازورها متناسب با مقادیر ولتاژ، (V) و جریان، (I) در لحظه‌ای در زمان نمودار فازور است که رسم شده است. فازور جریان از فازور ولتاژ با زاویه، Φ، تاخیر داردبا چرخش دو فازور در جهت پاد ساعتگرد همانطور که گفته شد درنتیجه زاویه Φ نیز در همان جهت خلاف جهت عقربه اندازه‌گیری می‌شود.

اگرچه، اگر شکل موج در یک زمان t = 30 درجه منجمد شود، نمودار فازور مربوطه مانند شکل نشان داده شده در سمت راست است. بار دیگر فازور جریان از ولتاژ عقب مانده است زیرا دو شکل موج دارای  فرکانس یکسان هستند.

با این حال، از آنجا که شکل موج جریان در حال عبور از خط محور صفر افقی در این لحظه در زمان است، می‌توانیم از فازور جریان به عنوان مرجع جدید استفاده کنیم و به درستی بگوییم که فازور ولتاژ از فازور جریان “پیش” می‌افتد. در هر صورت، یک فازور به عنوان فاکتور مرجع تعیین می‌شود و سایر فاکتورهای دیگر با توجه به این مرجع پیش یا عقب می‌افتدند.

افزودن Phasor

بعضی اوقات لازم است که در هنگام اضافه کردن دو شکل موج متناوب به یکدیگر، به عنوان مثال در یک مدار سری AC، که با یکدیگر هم فاز نیستند، سینوس‌ها مطالعه شوند. اگر آنها به صورت هم فاز باشند، هیچ تغییر فاز وجود ندارد، سپس آنها می‌توانند به همان روش جمع مقادیر DC برای پیدا کردن مجموع دو بردار به یکدیگر اضافه شوند.به عنوان مثال، اگر دو ولتاژ 50 ولت و 25 ولت به ترتیب “هم فاز” باشند آنها با هم جمع می‌شوند و یک ولتاژ 75 ولت را تشکیل می‌دهند (50 + 25).

اگر با این حال، آنها به صورت هم فاز نباشند، آنها دارای جهات مشابه یا نقطه شروع یکسان نیستند، بنابراین باید زاویه فاز بین آنها در نظر گرفته شود، بنابراین آنها با استفاده از نمودارهای فازور به هم اضافه می‌شوند تا فازور حاصل یا جمع برداری آنها با استفاده از قانون موازی تعیین شود.

دو ولتاژ AC را در نظر بگیرید، V1 دارای ولتاژ اوج 20 ولت و V2 دارای ولتاژ اوج 30 ولت است که V1 از V2 پیش است. ولتاژ کلیVT، دو ولتاژ را می‌توان با کشیدن نمودار فازور که نمایانگر دو بردار است و سپس ساخت یک موازی سنج که در آن دو طرف ولتاژ های، V1 و V2 است، پیدا کرد.

جمع فازوری دو فازور

با ترسیم دو فازور برای مقیاس بندی بر روی کاغذ گراف، با اندازه گیری طول خط مورب معروف به “بردار جمع “، از نقطه صفر تا تقاطع خط 0-A می‌توان به راحتی جمع فازور آنها V1 + V2 را یافت. نکته منفی این روش گرافیکی این است که هنگام ترسیم فازورها برای  مقیاس، بسیار وقت‌گیر است.

همچنین، در حالی که این روش گرافیکی پاسخی را می دهد که برای اکثر اهداف به اندازه کافی دقیق است، ممکن است خطایی را در صورت عدم ترسیم دقیق یا صحیح برای مقیاس ایجاد کند. سپس روش تحلیلی برای اطمینان از اینكه همیشه جواب درست حاصل می شود، است.

از لحاظ ریاضی می‌توانیم دو ولتاژ را با یافتن جهت‌های “عمودی” و “افقی” آنها اضافه کنیم و از این طریق می‌توانیم هر دو مؤلفه “عمودی” و “افقی” را برای “بردار r” حاصل VT محاسبه کنیم. این روش تحلیلی که از قاعده کسینوسی و سینوسی برای یافتن این مقدار حاصل استفاده می‌کند، معمولاً شکل مستطیلی نامیده می‌شود.

در شکل مستطیلی، فازور به یک قسمت حقیقی، x و یک قسمت موهومی y تقسیم می‌شود، که بیان کلی Z = x ±y را تشکیل می‌دهد. (ما در آموزش بعدی این را با جزئیات بیشتر بحث خواهیم کرد). سپس این، عبارت ریاضی را به ما می‌دهد كه هم اندازه و هم فاز ولتاژ سینوسی را نشان می‌دهد:

تعریف یک سینوسی مختلط در نمودارهای فازوری

بنابراین جمع دو بردار، A و B با استفاده از عبارت عمومی قبلی به شرح زیر است:

A=x+iy        B=w+jZ

(A+B=(x+w)+j(y+z

جمع فازوری با استفاده از فرم مستطیل

ولتاژ V2، سی (30) ولت در جهت مرجع در امتداد محور صفر افقی قرار دارد، سپس یک مولفه افقی دارد اما هیچ مؤلفه‌ای عمودی ندارد.

• مؤلفه افقی =  30cos 0 = 30V
• مؤلفه عمودی = 30sin 0 = 0

این سپس بیان مستطیلی برای ولتاژ V2 : 30 + j0 را ارائه می‌دهد

ولتاژ V1، بیست ولت، از ولتاژ V2، شصت درجه پیش رو است، سپس آن هر دو مولفه افقی و عمودی را به شرح زیر دارد.

• مؤلفه افقی = 20cos 60 = 20*0.5=10V
• مؤلفه عمودی = 20sin 60 =20*0.866=17.32 V

این سپس بیان مستطیلی برای ولتاژ V1: 10 + j17.32 را ارائه می‌دهد

ولتاژ VT حاصل با اضافه کردن به هم دو مولفه عمودی و افقی مانند زیر حاصل می‌شود.

V_افقی = جمع بخش حقیقی V1 و V2= 30+10 = 40 ولت

V_عمودی = جمع بخش موهومی V1 و V2= 0+17.32 = 32/17 ولت

اکنون که هر دو مقدار حقیقی و موهومی یافته شد، مقدار ولتاژ VT با استفاده از قضیه فیثاغورس برای یک مثلث 90 درجه به شرح زیر تعیین می شود.

سپس نمودار فازور حاصل بصورت زیر خواهد شد:

مقدار حاصل VT

تفریق فازوری

تفریق فازور بسیار شبیه به روش مستطیل اضافه کردن است، به جز این که این بار اختلاف بردار مورب دیگری از موازی بین دو ولتاژ V1 و V2 است که نشان داده شده است.

تفریق برداری دو فازور در نمودارهای فازوری

این بار به جای “اضافه کردن” با هم مولفه افقی و عمودی، آنها را از هم دور می‌کنیم، تفریق  می‌کنیم.

A=x+iy        B=w+jZ

A-B=(x-w)+j(y-z)

نمودار فازور 3 فاز

پیش از این فقط به شکل موج‌های AC فاز تک فاز پرداخته بودیم که یک سیم پیچ چند دوری تنها درون یک مغناطیسی می‌چرخد. اما اگر سه سیم پیچ جدا هر کدام با تعداد یکسان از دور سیم پیچ در یک زاویه الکتریکی 120 درجه با یکدیگر در شفت روتور یکسان قرار گیرند، یک منبع تغذیه سه فاز تولید خواهد شد.

منبع تغذیه متعادل ولتاژ سه فاز از سه ولتاژ سینوسی جداگانه تشکیل شده است که همگی از نظر بزرگی و فرکانس برابر هستند اما دقیقاً 120 درجه الکتریکی با یکدیگر غیر هم فاز هستند.

روش استاندارد رنگ آمیزی سه فاز به صورت قرمز، زرد و آبی است تا هر فاز جداگانه را با فاز قرمز به عنوان فاز مرجع مشخص شود. دنباله طبیعی چرخش برای منبع سه فاز قرمز است و پس از آن زرد و پس از آن آبی است، (R ،Y ،B).

مطابق با فازورهای تک فاز فوق، فازورها که نمایانگر یک سیستم سه فاز هستند نیز در جهت خلاف جهت عقربه ساعت اطراف یک نقطه مرکزی می‌چرخند که توسط فلش مشخص شده ω در رادیان / ثانیه نشان داده شده است. فازورهای مربوط به یک ستاره متعادل یا سیستم متصل به صورت  دلتا در زیر نشان داده شده است.

نمودار فازور سه فاز

ولتاژهای فاز همه از نظر بزرگی برابر هستند اما فقط از نظر زاویه فاز متفاوت هستند. سه سیم پیچ در نقاط a، b، c به یکدیگر وصل می‌شوند تا یک اتصال خنثی مشترک برای سه فاز جداگانه ایجاد کند. سپس اگر فاز قرمز به عنوان فاز مرجع در نظر گرفته شود، هر ولتاژ فاز جداگانه می‌تواند نسبت به خنثی مرجع تعریف شود.

روابط ولتاژ سه فاز

اگر ولتاژ فاز قرمز ، VRN به عنوان ولتاژ مرجع همانطور که گفته شد در نظر گرفته شود، توالی فاز R – Y – B خواهد بود بنابراین ولتاژ در فاز زرد از VRN 120 درجه عقب می‌افتد، و ولتاژ در فاز آبی نیز از VYN 120 درجه عقب می‌افتد. اما ما همچنین می توانیم بگوییم ولتاژ فاز آبی، VBN از ولتاژ فاز قرمز، VRN با 120 درجه پیش می‌افتد.

یک نکته نهایی در مورد سیستم سه فاز. از آنجا که سه ولتاژ سینوسی جداگانه دارای یک رابطه ثابت  120 درجه بین یکدیگر هستند، بنابراین گفته می‌شود که آنها “متعادل” هستند، بنابراین در مجموعه‌ای از ولتاژهای سه فاز متعادل، مقدار فازور آنها همیشه برابر خواهد بود: Va + Vb + Vc = 0

خلاصه نمودار فازوری

سپس برای خلاصه کردن این آموزش در مورد نمودارهای فازوری.

• در ساده ترین حالت آنها، نمودارهای فازور یک طرح ریزی از یک بردار چرخان بر روی یک محور افقی هستند که بیانگر مقدار آنی است. یک نمودار فازور می‌تواند برای نمایش هر لحظه از زمان و هر زاویه کشیده شود ، فازور مرجع یک مقدار متناوب همیشه در راستای جهت محور X مثبت ترسیم می شود.
• بردارها، فازورها و نمودارهای فازور تنها بر مقادیر متناوب AC سینوسی اعمال می‌شوند.
• نمودار فازور می‌تواند برای نشان دادن دو یا چند مقدار سینوسی ثابت در هر لحظه از زمان استفاده شود.
• بطور کلی فازور مرجع در امتداد محور افقی کشیده شده و در آن لحظه به موقع سایر فازورها ترسیم می‌شوند. همه فازورها به محور صفر افقی ترسیم شده‌اند.
• نمودارهای فازور می‌توانند برای نمایش بیش از دو سینوسی ترسیم شوند. آنها می‌توانند ولتاژ، جریان یا مقادیر متناوب دیگر باشند اما فرکانس همه آنها باید یکسان باشد.
• همه فاکتورها بصورت چرخشی در یک جهت خلاف جهت عقربه کشیده می‌شوند. گفته می شود تمام فازورها پیش فرض مرجع “پیش فاز” هستند، در حالی که گفته می‌شود همه فازورهای موجود در پشت فازور مرجع “پس فاز” هستند.
• به طور کلی، طول یک فازورنمایانگر مقدار m.s. مقدار سینوسی به جای حداکثر مقدار آن است.
• سینوس هایی با فرکانس‌های مختلف به دلیل سرعت متفاوت بردارها نمی‌توانند در همان نمودار فازور نمایش داده شوند. در هر لحظه زاویه فاز بین آنها متفاوت خواهد بود.
• دو یا چند بردار می‌توانند به یکدیگر اضافه یا تفکیک شوند و به یک بردار واحد، به نام بردار مجموع شوند.
• طرف افقی یک بردار برابر با بردار حقیقی یا “x” است. قسمت عمودی یک بردار برابر با بردار موهومی یا “y” است. وتر مثلث زاویه دار راست حاصل برابر با بردار “r” است.
• در یک سیستم متعادل سه فاز، هر یک از فازورهای مستقل با 120 درجه نسبت به یکدیگر قرار گرفته‌اند.